운동학적 기술법 (Kinematic Description)
개요
접미어가 명확하게 표현된 하나의 단어가 아니다 보니 검색이 상당히 어려웠습니다. 저희 교수님은 강의 중에 접근법(Approach)이라는 표현을 사용하셨는데 인터넷에 검색하니 분석법(Analysis), 기술법(Description), 좌표계(Coordinate) 등등 다양한 표현이 사용되더라구요. 본 글을 작성하면서 어떤 표현을 사용할 지 고민했는데 대부분의 글들에서 기술법(Description)이라는 표현을 가장 범용적으로 사용하는 것으로 추정되기 때문에 저도 해당 표현을 사용하도록 하겠습니다.
오일러 기술법 (Euler Description)
오일러 기술법은 공간상에서 고정되어 있는 각 지점을 통과하는 입자의 물리량(속도 변화율, $\Delta V$)을 표현하는 방법입니다. 오일러 기술법에서 속도와 같은 유동 특성은 공간과 시간에 대한 함수로 표현됩니다.
오일러 기술법을 적용한 좌표계를 오일러 좌표계(Eulerian Coordinates), 혹은 공간 좌표계(Spatial Coordinates)라고 부릅니다.
수학적 표현
오일러 기술법에 사용되는 미분 연산자는 편미분(Partial Derivative)으로, 시간에 대해서만 미분이 이루어집니다. 속도장은 $\vec{v}(x, y, z, t)$의 형태로 나타내어지며, 속도장의 미분인 가속도장은 대류항(Convective Term)이 포함된 형태를 보입니다. $$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}$$
라그랑주 기술법 (Lagrange Description)
라그랑주 기술법은 오일러 기술법과는 다르게 입자에 초점을 맞춰서 입자들의 물리량(위치, 속도, 가속도)을 나타내는 기술법입니다.
라그랑주 기술법을 적용한 좌표계를 라그랑주 좌표계(Lagrangian Coordinate), 물질 좌표계(Material Coordinates), 참고 좌표계(Referential Coordinates)라고 부릅니다.
수학적 표현
라그랑주 기술법에는 전미분(Total Derivative)이 사용되며, 표현 방법은 다
라그랑주 미분(Lagrangian Derivative)
앞서 라그랑주 기술법이 적용된 좌표계를 부르는 명칭이 여러가지가 있듯이 라그랑주Material Derviative/Substantial Derivative(물질 미분), Convective Derivative(대류 미분), 또는 Particle Derivative(입자 미분)라는 표현을 쓰기도 합니다.
정리
앞서 설명한 오일러 기술법과 라그랑주 기술법에 대하여 한 눈에 보기 쉽게 표로 정리해 봤습니다.
| 특성 | 오일러 기술법 (Euler Description) | 라그랑주 기술법 (Lagrange Description) |
| 관찰 방법 | 고정된 지점을 기준으로 입자의 움직임을 관찰함 (공간 중심) | 입자를 기준으로 한 상태로 움직임을 관찰함 (입자 중심) |
| 수학적 표현 | $\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}$ (편미분 사용) | $\frac{D\vec{v}}{Dt} = \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}$(전미분 사용) |
| 장점 및 계산적 특징 | 실험적 구현 및 단순 유동장 계산에 유용함. | 복잡한 입자의 이동 경로를 추적하는데 유용함. |