2. 확률에 대한 공리 (Axioms of Probability)

영한 번역 키워드

영어	한국어
Sample Space	표본공간
Event	사건
Axioms of Probability	확률의 공리
Probability Measure	확률 측도
Equally Likely Outcomes	동일한 가능성의 결과
Set Function	집합 함수
Belief	신념

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1. Sample Space and Events (표본공간과 사건)

• Sample space $S$: 실험의 가능한 모든 결과의 집합.
• Event $A \subseteq S$: 관심 있는 결과들의 부분집합.

예시:

• 동전을 한 번 던지면 $S = {H, T}$
• $A = {H}$는 앞면이 나오는 사건

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2. Axioms of Probability (확률의 공리)

Kolmogorov의 공리 체계에 따라 확률은 다음과 같은 성질을 만족해야 함:

1. 비음수성 (Non-negativity)

   $$
   P(A) \geq 0 \quad \forall A \subseteq S
   $$

2. 전체 공간의 확률

   $$
   P(S) = 1
   $$

3. 가법성 (Countable Additivity)
   서로소인 사건 $A_1, A_2, \ldots$에 대해,

   $$
   P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)
   $$

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3. Some Simple Propositions (기초 명제)

공리로부터 유도되는 기본 성질:

• 여사건의 확률:

  $$
  P(A^c) = 1 - P(A)
  $$

• 부분집합 관계:

  $$
  A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)
  $$

• 포함-배제 법칙:

  $$
  P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  $$

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4. Equally Likely Outcomes (동일 가능성 결과의 경우)

모든 결과가 같은 확률을 가질 경우:

$$
P(A) = \frac{|A|}{|S|}
$$

• 유한한 표본공간에서 자주 사용되는 모델
• 예: 공정한 주사위, 동전 등

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5. Probability as a Continuous Set Function (확률의 연속 집합함수로서의 성질)

• Countable Additivity는 확률을 연속적인 집합 함수로 만든다.

• 사건들의 무한 증가열 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$에 대해:

  $$
  P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \lim_{i \to \infty} P(A_i)
  $$

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6. Probability as a Measure of Belief (신념의 측도로서의 확률)

• 확률을 객관적 빈도가 아닌 주관적 신념의 측도로 해석
• 베이지안 확률 해석의 기반
• 예: 어떤 사건이 발생할 것이라는 "신뢰도"를 수치화