공학/확률과 통계
2. 확률에 대한 공리 (Axioms of Probability)
팔나래
2025. 5. 19. 17:53
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영한 번역 키워드
영어 | 한국어 |
---|---|
Sample Space | 표본공간 |
Event | 사건 |
Axioms of Probability | 확률의 공리 |
Probability Measure | 확률 측도 |
Equally Likely Outcomes | 동일한 가능성의 결과 |
Set Function | 집합 함수 |
Belief | 신념 |
1. Sample Space and Events (표본공간과 사건)
- Sample space $S$: 실험의 가능한 모든 결과의 집합.
- Event $A \subseteq S$: 관심 있는 결과들의 부분집합.
예시:
- 동전을 한 번 던지면 $S = {H, T}$
- $A = {H}$는 앞면이 나오는 사건
2. Axioms of Probability (확률의 공리)
Kolmogorov의 공리 체계에 따라 확률은 다음과 같은 성질을 만족해야 함:
비음수성 (Non-negativity)
$$
P(A) \geq 0 \quad \forall A \subseteq S
$$전체 공간의 확률
$$
P(S) = 1
$$가법성 (Countable Additivity)
서로소인 사건 $A_1, A_2, \ldots$에 대해,$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)
$$
3. Some Simple Propositions (기초 명제)
공리로부터 유도되는 기본 성질:
여사건의 확률:
$$
P(A^c) = 1 - P(A)
$$부분집합 관계:
$$
A \subseteq B \Rightarrow P(A) \leq P(B)
$$포함-배제 법칙:
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$
4. Equally Likely Outcomes (동일 가능성 결과의 경우)
모든 결과가 같은 확률을 가질 경우:
$$
P(A) = \frac{|A|}{|S|}
$$
- 유한한 표본공간에서 자주 사용되는 모델
- 예: 공정한 주사위, 동전 등
5. Probability as a Continuous Set Function (확률의 연속 집합함수로서의 성질)
Countable Additivity는 확률을 연속적인 집합 함수로 만든다.
사건들의 무한 증가열 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$에 대해:
$$
P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \lim_{i \to \infty} P(A_i)
$$
6. Probability as a Measure of Belief (신념의 측도로서의 확률)
- 확률을 객관적 빈도가 아닌 주관적 신념의 측도로 해석
- 베이지안 확률 해석의 기반
- 예: 어떤 사건이 발생할 것이라는 "신뢰도"를 수치화
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